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  1. AVL简介
  2. AVL自旋
  3. 自旋详解
    1. 左左LL
    2. 右右RR
    3. 左右LR
    4. 右左RL
  4. 总体代码
  5. 参考文章
AVL树的平衡调整
2018-07-10

AVL树的全称是平衡搜索二叉树,本质上也是一个二叉搜索树(BST),满足BST树的所有性质。

AVL简介

在BST中搜索一个结点的平均时间复杂度是O(lgn),最坏情况会出现O(n),即出现连续的左/右子树:

image-20200722110541352

这种情况其实就已经是链式存储,无法将树的优势体现出来。为了避免这种情况,我们就要保证这个树随时都是平衡的。当然要求不能那么严格,不需要保证它完全平衡(每个节点的左右子树高度差的绝对值都为0),AVL树就要求的是只要每个节点的左右子树高度差的绝对值不超过1,就可以称作平衡。

AVL自旋

**平衡因子(BF)**:每个节点的左右子树的高度差的绝对值

在AVL树中,插入一个节点之后都会判断是否打破了这个平衡。如果打破了,就需要对树进行调整,让它仍然满足平衡的定义,并且不改变中序遍历的正确性。这步操作就叫做旋转。即,是否需要旋转以及具体的旋转实现都要包含在插入函数里。

根据插入的位置不同,旋转的类型也分为4种:LL,LR,RL,RR:

自旋详解

AVL树定义以及前置函数定义:

typedef struct AVLTree
{
int height; //当前节点的高度。
int data;
struct AVLTree* lchild;
struct AVLTree* rchild;
}Tree,*pTree;

int GetHeight(pTree tree) //获取当前节点的高度。
{
if(tree == nullptr) return 0;
return tree->height;
}

bool IsBalanced(pTree tree) //判断是否平衡。
{
int BF = GetHeight(tree->lchild) - GetHeight(tree->rchild);
return abs(BF) < 2;
}

左左LL

导致失衡的节点node(1)是节点node(3)的左子树的左孩子,即为LL情况。

image-20200722111715724

算法步骤:

  1. 对于节点node(3),先取它的左孩子node(2)作为临时节点temp;
  2. 将temp的右孩子作为node的左孩子;
  3. 再将node作为temp的右孩子;
  4. 更新height
  5. node = temp。此时,temp就成为了原来node一样的存在。
pTree Rotate_LL(pTree tree)
{
pTree temp = tree->lchild;
tree->lchild = temp->rchild;
temp->rchild = tree;

//更新高度,先更新node再更新temp。
tree->height = max(GetHeight(tree->lchild),GetHeight(tree->rchild))+1;
temp->height = max(GetHeight(temp->lchild),GetHeight(temp->rchild))+1;

return temp;
}

调整结果:

image-20200722111910017

右右RR

RR型由于和LL型是对称的,所以只需要将LL中的所有左右互换就可以了。

pTree Rotate_RR(pTree tree)
{
pTree temp = tree->rchild;
tree->rchild = temp->lchild;
temp->lchild = tree;

//更新高度,先更新node再更新temp。
tree->height = max(GetHeight(tree->lchild),GetHeight(tree->rchild))+1;
temp->height = max(GetHeight(temp->lchild),GetHeight(temp->rchild))+1;

return temp;
}

左右LR

引起失衡的是node节点的左子树的右孩子。

image-20200722113201966

在节点值为4的节点插入5,是4的右孩子。此时已经失衡。即为LR问题。

算法步骤:

  1. 先获取node(值为10的节点)的左孩子节点,记为temp。

  2. 对temp进行RR。

  3. 对node进行LL。

pTree Rotate_LR(pTree tree)
{
pTree temp = tree->lchild;
tree->lchild = Rotate_RR(temp);
return Rotate_LL(tree);
}

右左RL

RL型由于和LR型是对称的,所以只需要将LR中的所有左右互换就可以了。

pTree Rotate_RL(pTree tree)
{
pTree temp = tree->rchild;
tree->rchild = Rotate_LL(temp);
return Rotate_RR(tree);
}

总体代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<stack>
using namespace std;
typedef struct AVLNode *position;
typedef position AVLTree;
struct AVLNode{
int data;
AVLTree left;
AVLTree right;
int h;
};
int GetHight(AVLTree A){
if(A == NULL) return -1;
return A->h;
}
//左单旋
AVLTree SLR(AVLTree A){
AVLTree B = A->left;
A->left = B->right;
B->right = A;
A->h = max(GetHight(A->left),GetHight(A->right))+1;
B->h = max(GetHight(B->left),GetHight(B->right))+1;
return B;
}
//右单旋
AVLTree SRR(AVLTree A){
AVLTree B = A->right;
A-> right = B->left;
B->left = A;
A->h = max(GetHight(A->left),GetHight(A->right))+1;
B->h = max(GetHight(B->left),GetHight(B->right))+1;
return B;
}
//左右双旋
AVLTree DLRR(AVLTree A){
AVLTree B = A->left;
A->left = SRR(B);
return SLR(A);
}
//右左双旋
AVLTree DRLR(AVLTree A){
AVLTree B = A->right;
A->right = SLR(B);
return SRR(A);
}
AVLTree Insert(AVLTree T,int x){
if(T == NULL){
T = new AVLNode();
T->data = x;
T->left = NULL;
T->right = NULL;
T->h = 0;
}else if(x < T->data){
T->left = Insert(T->left,x);
if(GetHight(T->left) - GetHight(T->right) == 2)
if(x < T->left->data) T = SLR(T);
else T = DLRR(T);
}else if(x > T->data){
T->right = Insert(T->right,x);
if(GetHight(T->left)-GetHight(T->right) == -2)
if(x > T->right->data) T = SRR(T);
else T = DRLR(T);
}
T->h = max(GetHight(T->left),GetHight(T->right))+1;
return T;
}

参考文章

数据结构:AVL树的平衡调整——LL,LR,RL,RR

AVL树的调整(笔记)

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